Kittel 公式推导
You:
Kittel 公式推导
ChatGPT:
下面给出经典的 Kittel 公式在铁磁共振（FMR, Ferromagnetic Resonance）场合下的推导过程，以平面磁化薄膜（demagnetizing factor N_x=N_y=0, N_z=1）为例，最后得到
$$f = \frac{\gamma}{2\pi}\sqrt{H\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)}$$
其中
- $f$ 是共振频率，
- $\gamma$ 是回旋比（gyromagnetic ratio），
- $H$ 是外加磁场（沿膜面方向），
- $M_s$ 是饱和磁化强度。
1. 模型与能量密度
对宏观磁化强度 $\mathbf{M}$ 考虑以下能量项（CGS 单位制）
- Zeeman 能：$-\mathbf{M}\cdot\mathbf{H}$
- 形状各向异性能（Demagnetizing 能）：$\tfrac12 4\pi\,N_i M_i^2$
对于无限大平面薄膜（厚度方向为 $z$），有
$$N_x = N_y = 0,\quad N_z = 1,$$
于是总能量密度
$$\mathcal{E}=-M_xH_x -M_yH_y -M_zH_z + 2\pi M_z^2$$
通常我们令外场 $\mathbf{H}=H\hat{x}$，在平面内定向。
2. 动力学方程：Landau–Lifshitz–Gilbert (LLG)
忽略阻尼项（只需求固有频率），磁矩运动方程取简化的 Landau–Lifshitz 形式：
$$\frac{d\mathbf{M}}{dt}=-\gamma\,\mathbf{M}\times\mathbf{H}_\mathrm{eff},$$
其中有效场
$$\mathbf{H}_\mathrm{eff}=-\frac{\partial\mathcal{E}}{\partial\mathbf{M}}
= H\hat{x} - 4\pi M_z\,\hat{z}.$$
3. 小角度线性化
设平衡时 $\mathbf{M}$ 指向 $x$ 轴方向：
$$\mathbf{M}_0 = M_s\,\hat{x}.$$
考虑绕平衡小偏转：
$$M_x = M_s + m_x(t),\quad |m_x|\ll M_s;\quad m_y,m_z\ll M_s.$$
代入动力学方程并忽略高阶小量，可分得：
$$\begin{cases}
\dot m_y = \gamma\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)\,m_z,\
\dot m_z = -\gamma H\,m_y.
\end{cases}$$
4. 求解固有振荡频率
对上述两方程取时间导数并消去 $m_z$ 或 $m_y$：
$$\ddot m_y = \gamma\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)\dot m_z
= -\gamma^2H\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)\,m_y.$$
这是简谐振荡方程 $\ddot m_y + \omega^2 m_y = 0$，因此
$$\omega^2 = \gamma^2\,H\,\bigl(H + 4\pi M_s\bigr),$$ $$\omega = \gamma\sqrt{H\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)}.$$
把角频率 $\omega$ 换成频率 $f = \omega/(2\pi)$，即可得 Kittel 公式：
$$\boxed{\,f = \frac{\gamma}{2\pi}\,\sqrt{H\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)}\,}.$$
5. 常见单位注意
在 SI 单位制下，通常写作
$$\omega = \mu_0\gamma\sqrt{H\bigl(H + M_s\bigr)}
\quad(\mu_0: 真空磁导率),$$或者将 $4\pi M_s$ 替换为 $\mu_0 M_s$（取决于符号习惯）。
- $\gamma/2\pi$ 的典型值约为 $2.8$,MHz/Oe（CGS）或 $28$,GHz/T（SI）。
通过上述推导，就得到了 Kittel 公式在平面薄膜中的经典形式。它揭示了共振频率与外场和内场（源自磁化强度）的耦合关系。
You:
{m˙y\=γ(H+4πMs)mz,m˙z\=−γHmy.
ChatGPT:
我们来把这两条线性化方程的来源，按「分量计算」一步步捋清楚。
1. 写出有效场各分量
回顾我们对能量的处理，
$$\mathcal{E} = -\mathbf M\cdot\mathbf H + 2\pi M_z^2$$
所以有效场（effective field）是
$$\mathbf H_{\rm eff}
= -\frac{\partial\mathcal E}{\partial \mathbf M}
= H\,\hat x \;-\; 4\pi\,M_z\,\hat z.$$
拆成分量就是
$$H_{\rm eff,x} = H,\quad
H_{\rm eff,y} = 0,\quad
H_{\rm eff,z} = -4\pi\,M_z.$$
在小角度扰动下，$M_z\approx m_z$（因为平衡时 $M_z=0$）。
2. 用 $\dot{\mathbf M} = -\gamma\,\mathbf M \times \mathbf H_{\rm eff}$ 写出分量
令
$$\mathbf M = \bigl(M_s + m_x,\;m_y,\;m_z\bigr),$$
其中 $m_x,m_y,m_z$ 都是小量，主要关心 $m_y$ 和 $m_z$ 的耦合。
$y$ 分量：
$$\dot M_y
= -\gamma\bigl[M_z\,H_{\rm eff,x} \;-\; M_x\,H_{\rm eff,z}\bigr].$$把分量代入：
- $$M_z\,H_{\rm eff,x} \approx m_z\,H$$
- $$M_x\,H_{\rm eff,z} \approx M_s\,( -4\pi\,m_z)=-4\pi M_s\,m_z$$
因此
$$\dot m_y \approx \dot M_y
= -\gamma\bigl(H\,m_z - (-4\pi M_s\,m_z)\bigr)
= -\gamma\bigl(H + 4\pi M_s\bigr)\,m_z.$$
如果我们取 $\gamma$ 为“正的”回旋比大小（省去符号），就写作
$$\boxed{\dot m_y = +\,\gamma\,(H + 4\pi M_s)\;m_z.}$$$z$ 分量：
$$\dot M_z
= -\gamma\bigl[M_x\,H_{\rm eff,y} \;-\; M_y\,H_{\rm eff,x}\bigr].$$这里 $H_{\rm eff,y}=0$，所以只有第二项：
$$\dot m_z \approx -\gamma\bigl(-\,m_y\,H\bigr)
= +\,\gamma\,H\,m_y.$$同理，若把符号吸进 $\gamma$，也常写成
$$\boxed{\dot m_z = -\,\gamma\,H\;m_y.}$$
- *
3. 小结
- 这两条方程，正是把向量形式的运动方程
$\dot{\mathbf M}=-\gamma\,\mathbf M\times\mathbf H_{\rm eff}$
按 $y$ 和 $z$ 分量展开、并在线性化（只保留一阶小量）得到的。 符号上的 “±” 其实跟你如何定义 $\gamma$ 的正负约定有关；关键是它们构成了
$$\begin{cases}
\dot m_y = \gamma\,(H+4\pi M_s)\,m_z,\
\dot m_z = -\gamma\,H\,m_y,
\end{cases}$$一个典型的耦合振荡方程组。
接下来把它们联立，就能得到那条
$\ddot m_y + \gamma^2\,H\,(H+4\pi M_s)\,m_y=0$
的简谐振荡方程，从而导出 Kittel 公式。希望这样把“分量 ↔ 叉乘 ↔ 线性化”讲清楚了，如果还有哪步不明白，欢迎继续提！
You:
那如果外场方向在Z轴呢
ChatGPT:
当外加磁场方向从膜面（$x$ 轴）改到法线方向（$z$ 轴）时，推导思路完全相同，只是平衡态和微小偏转的分量关系不一样。下面给出关键步骤和结果。
1. 能量与有效场
能量密度（CGS 单位）
$$\mathcal E = -\,\mathbf M\cdot\mathbf H \;+\;\tfrac12\,4\pi\,M_z^2
= -M_z H + 2\pi M_z^2.$$
令外场 $\mathbf H=H\,\hat z$，有效场
$$\mathbf H_{\rm eff}
= -\frac{\partial\mathcal E}{\partial\mathbf M}
= H\,\hat z \;-\;4\pi\,M_z\,\hat z
\,=\;\bigl(H -4\pi M_z\bigr)\,\hat z.$$
2. 平衡态
只有当 $H>4\pi M_s$ 时，才有平衡磁化全沿场方向：
$$\mathbf M_0 = M_s\,\hat z.$$
此时 $M_z=M_s$，所以平衡有效场大小
$$H_{\rm eff}^{(0)} = H -4\pi M_s.$$
3. 小角度扰动与线性化
令
$$\mathbf M = (m_x,m_y,\,M_s)\,,\qquad |m_{x,y}|\ll M_s.$$
因为平衡时 $H_{\rm eff}$ 只有 $z$ 分量，微扰时有
$$\mathbf H_{\rm eff}
\approx \bigl(-4\pi m_x\,,\,-4\pi m_y\,,\,H -4\pi M_s\bigr).$$
带入无阻尼 Landau–Lifshitz 方程
$\dot{\mathbf M}=-\gamma\,\mathbf M\times\mathbf H_{\rm eff}$
逐分量展开，保留一阶小量，可得
$$\begin{cases}
\dot m_x = -\gamma\,m_y\,\bigl(H -4\pi M_s\bigr),\
\dot m_y = +\gamma\,m_x\,\bigl(H -4\pi M_s\bigr).
\end{cases}$$
注意这里的耦合频率就是平衡时的 $H_{\rm eff}^{(0)}$。
4. 固有振荡频率
对任一横向分量如 $m_x$ 再取时间导数并消去 $m_y$，得到
$$\ddot m_x + \gamma^2\,(H -4\pi M_s)^2\,m_x = 0,$$
于是角频率
$$\omega = \gamma\,\bigl(H -4\pi M_s\bigr),$$
对应的共振频率
$$\boxed{\,f = \frac{\omega}{2\pi}
= \frac{\gamma}{2\pi}\,\bigl(H - 4\pi M_s\bigr),
\quad (H>4\pi M_s).}$$
小结
- 膜面场（$H\parallel x$）时：
$\displaystyle f=\frac{\gamma}{2\pi}\sqrt{H\,(H+4\pi M_s)}$. - 法线场（$H\parallel z$）时：
$\displaystyle f=\frac{\gamma}{2\pi}\,(H-4\pi M_s)$, 要求 $H>4\pi M_s$ 才能让磁化饱和沿场方向。